劉三 格物 鐵雲

學習 Kalman filter 希望您不錯過下面兩篇文章 Kalman filter Interview: https://towardsdatascience.com/kalman-filter-interview-bdc39f3e6cf3 How a Kalman filter works, in pictures https://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/

您可能知道如何使用 ARIMA 去配適一個時間序列或使用它去預測。但不知道您是否想過為何我們假設一些隨機時間序列可以適當的用 ARIMA 來建模? Wold 分解可以提供一些理論上的理由。此分解定理斷言任何協方差平穩過程  Yt可寫為Yt = Xt + Zt，其中 Zt  是確定性過程，並且 Xt 可寫為不相關的 N（0，σ2）隨機振盪的移動平均。  由於我們的目的，確定性部分 Zt 可以單獨處理。 在考慮 Xt 時，如果ψi係數快速衰減到0，那麼在q項之後截斷無限和可能是合適的。 在這種情況下，我們將有一個MA（q）模型。 即使我們不能安全截斷無窮級數，我們也希望找到一個ARψ（p，q）模型，其ψ權重與Xt的權重非常接近。 許多時間序列都是非平穩的。 ARIMA模型支持的唯一一種非平穩性是d度的簡單差分。 在實踐中，一個或兩個差分水平通常足以將非平穩時間序列減少到明顯的平穩性。

時間序列分析的目的一般有兩面向: 1. 探究生成觀測到的序列的隨機機制或生成此序列的模型 2. 用來預測。此預測除了基於觀測到的序列，也許也會考慮到其他相關的序列或因素 對時間序列中的每一個觀測值有一特別的性質 - 通常我們不會假設它們來自同一個母體，如它們取自有不相同的均值的母體。 而所以，通常時間序列分析的要點在於研究具有相關性的模型。例如，趨勢性、季節性、遞延性均是前後相關的性質。 另外，常常會被問到你用的時間序列模型可以用來預測每天的股票市場嗎? 我用的時間序列模型通常是指數平滑、或 ARIMA 這一類的，這些模型通常較適合那些有趨勢或季節性的數據。每日股票市場數據是典型沒有趨勢也沒有季節性。也許你會說有啊 ?! 股票市場有趨勢啊， 那用 Holt 或 Winter 模型可以嗎? 事實上是不行的。因為在股票市場數據出現的趨勢，簡單只是因為他們是隨機漫步的局部效果。 Holt 方法會給出無用的預測。 做事情有時候必須見樹亦見林。所謂"見"就是看見，有意的看見、心中有此意象有此空間才有會有觀點的著落。

面對一個銷售的時間序列 y(t)，你可能用工具將它畫在圖上，然後，你觀察它並用你的直覺判斷對你的客戶解說，這銷售隨著時間慢慢的有所起色並隨著曲線的起伏，你跟客戶描述所謂銷售的季節性變化...這一切根據直覺判斷似乎理所當然，雖然明明你覺得好像這趨勢或季節性不十分明顯?  但好像又有這麼一回事，很難說完全沒有，所以客戶也就不好反駁，就用"你" 的直覺判斷了!  不然呢 ? 趨勢或季節性的強度可以度量嗎? 以時間序列拆解模型有辦法對一趨勢或季節性的強度進行度量。 y t = T t + S t + R t , 其中  T t T t  是進行平滑後的趨勢部位， S t 是季節部位， R t R t   是殘差部位。 y t - S t = T t T t   + R t , 對於有很強趨勢性的數據，經季節調整後的變異數程度應該遠大於其 殘差部位， 因此 Var ( R t ) ( R t ) /Var ( T t + R t ) ( T t + R t )   ( T t + R t ) 的比值相對而言應該較小。 但是對於沒有趨勢或趨勢較小的數據，其比值應該趨近於 1。如此我們定義趨勢的強度為 F T = max ( 0 , 1 − Var ( R t ) Var ( T t + R t ) ) . F T = max ( 0 , 1 − Var ( R t ) Var ( T t + R t ) ) . 這就給出了介於 0 至 1 的趨勢強度。因為殘差的變異可能偶而比 經季節調整後的變異數大，故我們設置     F T F T   的最小可能值為 0。 F T         而季節性強度的定義類似，但它是對應於去趨勢後的數據[而非 經季節調整後的 ]， y t - T t = S t + R t     如此我們定義季節性的強度為 F S = max ( 0 , 1 − Var ( R t ) Var ( S t + R t ) ) . F S = max ( 0 , 1 − Var ( R t ) Var ( S t + R t ...