有辦法度量一時間序列的趨勢與季節性的強度嗎?

面對一個銷售的時間序列 y(t)，你可能用工具將它畫在圖上，然後，你觀察它並用你的直覺判斷對你的客戶解說，這銷售隨著時間慢慢的有所起色並隨著曲線的起伏，你跟客戶描述所謂銷售的季節性變化...這一切根據直覺判斷似乎理所當然，雖然明明你覺得好像這趨勢或季節性不十分明顯?  但好像又有這麼一回事，很難說完全沒有，所以客戶也就不好反駁，就用"你" 的直覺判斷了!  不然呢 ? 趨勢或季節性的強度可以度量嗎?

以時間序列拆解模型有辦法對一趨勢或季節性的強度進行度量。

yt=Tt+St+Rt,

其中 $T_t$ 是進行平滑後的趨勢部位，$S_t$${\mathrm{是季節部位，R}}_t$ 是殘差部位。

yt-St = $T_t$  +Rt,

對於有很強趨勢性的數據，經季節調整後的變異數程度應該遠大於其殘差部位，因此

Var$\left(R_t\right)$/Var$(T_t+R_t)$ 

$(T_t+R_t)$

的比值相對而言應該較小。 但是對於沒有趨勢或趨勢較小的數據，其比值應該趨近於 1。如此我們定義趨勢的強度為

$$F_T=max\left(0,1-\frac{\text{Var}\left(R_t\right)}{\text{Var}(T_t+R_t)}\right).$$

這就給出了介於 0 至 1 的趨勢強度。因為殘差的變異可能偶而比經季節調整後的變異數大，故我們設置  

$F_T$ 

的最小可能值為 0。
$F_T$

     

而季節性強度的定義類似，但它是對應於去趨勢後的數據[而非經季節調整後的]，

yt-Tt=St+Rt

   

如此我們定義季節性的強度為

$$F_S=max\left(0,1-\frac{\text{Var}\left(R_t\right)}{\text{Var}(S_t+R_t)}\right).$$一個季節性強度 $F_S$ 趨近於 0 的序列顯示幾乎沒有季節性，同時，一個季節性強度很強的序列 

$F_S$

趨近於 1 的，因為Var$\left(R_t\right)$  的變異數遠小於 Var$(S_t+R_t)$。

另外，上述的比值為 1 時，當然很好判斷有趨勢或季節性。但是如果比值是 0.1 、0.2、0.7、0.6、0.8 時呢?  有沒有一個比值的門檻呢?  有人以 M3 競賽的時間數據來試驗，結果建議 0.64 來作為門槛值時有最好的預測精準度表現。

參考文獻:

Wang, X., Smith, K. A., & Hyndman, R. J. (2006). Characteristic-based clustering for time series data. Data Mining and Knowledge Discovery, 13(3), 335–364.