簡單迴歸可能有的一些問題

簡單迴歸可能將 X 與 Y 間的關係給誤導了，其中可能的問題有

1.  input 與 output 間可能有 feedback
2. 忽略了 input 的延遲項
3. Disturbance 序列是 autocorrelated
4. X 與 Y 有 spurious correlations (因為 X 與 Y 有共同的 autocorrelation 模式)

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標準差與 Wald 統計量

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可能性或信賴區間對 MLE 是有用的添補，認可了在一個參數 theta 的不確定性; 它比 likelihood function 更簡單。前面我們也提過 observed Fisher Information : I(theta) 也是 MLE 的添補。那麼它與基於可能性的區間的關係為何呢? 在 regular 的情形下，log-likelihood 的二次趨近運作良好， I(theta) 是有其意義的。這時我們有: Log(L(theta)/L(theta-hat)) ~ -1/2*I(theta-hat)(theta-theta-hat)^2 如此，可能性區間 { theta | L(theta)/L(theta-hat) > c } 就可趨近於: theta-hat  ±  - (-2*log(c))^(1/2)(I(theta-hat))^(-1/2)  在 normal mean 模型，就有一個確切的有信心水準的信賴區間 Prob(chi-squared < -2log(c)) 例如:  theta-hat ± - 1.96 * I(theta-hat)^(1/2) 是一個確切的有 95% 信心水準的信賴區間。  在非 normal 的情況下，如上篇提到的有一 95%信心水準的信賴區間。注意: 設置此區間涉及兩層的趨近: log-likelihood 的二次趨近(I(theta-hat)與信心水準(Willk's) 的趨近。 也可與 normal mean 模型類比，一般 (I(theta-hat))^(-1/2) 提供了 theta-hat 的標準差訊息。常例以 'MLE{標準差}'一對的形式來報告。它主要用途是用 Wald 統計量來檢定 H0: theta = theta0。 z = (theta-hat - theta0)/se(theta-hat) 或去計算 Wald 信賴區間。例如 Wald 對 theta  95% 信心水準的信賴區間就是:  theta-hat ± 1.96*se(theta-hat) 在 normal mean 模型，在 H0 條件下，這個 Wald z 統計量...
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