The Wold Representation Theorem 又來了

因為太重要。

許多不同動態特徵符合共變異穩定(covariance stationary)。因此，假如我們只知道某一數列為共變穩定，不是完全清楚哪種模型我們可能可以配適來描述數列的演變。趨勢與季節的模型不能用，因為它們是特別用來模型非穩定的部份。實際上，在配適趨勢與季節部份之後剩下的，我們現在需要一個適當的模型 - 一個共變穩定殘差的模型。 Wold's representation 定理意味著此合適的模型。

定理：
　　　令 {y_t} 是任一均值為 0 共變穩定的 process。則我們可以將它寫成:

b_0 =  1 且

簡而言之，對任何共變穩定序列的正確模型是一些無限滞后的白噪音 -  稱作  Wold representation.  此 epsilon 通常稱為 innovations，因為它們是我們假設用了一個特別好的預測所對應 one-step-ahead 的預測誤差。那就是說，此 epsilon 表示由的 y 演進中那些基於過去 y 的線性不可預測的部份。 也要注意到 epsilon 間 uncorrelated ，但不需要它們彼此獨立。 再次強調，只有 Gaussian 隨機變數是沒有 correlation 就是彼此獨立。同時  innovations 不一定需要是 Gaussian 分布。

在上述中提到 process 的均值為 0，好像是個限制。其實如果當均值不為 0 時只要將序列減掉均值即可(當然如此做不會讓此序列失去它的一般性)。

Wold's 定理告訴我們：以公式表示共變穩定時間序列的預測模型時，我們只需要考慮模型的形式：

b_0 =  1 且

我們稱此為 general linear process。"general" 是因為指任何的共變穩定 process 可以寫成如此形式；linear 是因為 Wold representation 將序列表示為序列本身的 innovations 的線性函數。