SES 與 ARIMA(0,1,1)
經常看到書上提到 simple exponential smoothing 與 ARIMA(0,1,1) 相同或 SES 是最佳的 ARIMA(0,1,1)。
這是怎麼一回事? Simple Exponential Smoothing (SES) 是一種方法而 ARIMA(0,1,1) 是一個模型。說它們相同，必須從它們所產生的預測值這個角度來理解。 SES 預測公式給定如下:
x^t+1=αxt+(1−α)x^t (1)
我們預測在時間 t+1 的值用在時間 t 的觀察值與預測值的加權平均。這個簡單的 one-step-ahead 預測方法剛看似乎對數據而言不需要一個模型。事實上，這個方法等同於使用一個沒有常數項的 ARIMA(0,1,1) 模型。
wt+1=xt+1−x^t+1, 所以
x^t+1===xt+θ1wtxt+θ1(xt−x^t)(1+θ1)xt−θ1x^t.
這是怎麼一回事? Simple Exponential Smoothing (SES) 是一種方法而 ARIMA(0,1,1) 是一個模型。說它們相同，必須從它們所產生的預測值這個角度來理解。 SES 預測公式給定如下:
x^t+1=αxt+(1−α)x^t (1)
我們預測在時間 t+1 的值用在時間 t 的觀察值與預測值的加權平均。這個簡單的 one-step-ahead 預測方法剛看似乎對數據而言不需要一個模型。事實上，這個方法等同於使用一個沒有常數項的 ARIMA(0,1,1) 模型。
最佳的 ARIMA(0,1,1) 是怎麼一回事 ? 最佳的程序是對觀察到的數據集去配適一個 ARIMA(0,1,1) 模型，同時利用此結果來決定 α 值。
對已經觀察到的數據而言造出最好的 α ， 在這種角度而言，這是最佳的。
[i.e. 用 SES 找出的參數就是 ARIMA(0,1,1) 最佳的參數]
對已經觀察到的數據而言造出最好的 α ， 在這種角度而言，這是最佳的。
[i.e. 用 SES 找出的參數就是 ARIMA(0,1,1) 最佳的參數]
從 ARIMA(0,1,1) 的角度，因為 ARIMA(0,1,1) 模型是 xt - xt-1= wt + θ1wt-1.
等於 xt = xt-1 + wt + θ1wt-1.
ARIMA(0,1,1) 的預測結果 t+1, 我們由 xt+1 = xt + wt+1 + θ1wt ，因為
x^t+1===xt+θ1wtxt+θ1(xt−x^t)(1+θ1)xt−θ1x^t.
令 α = (1+ θ1) 則 -(θ1) = 1−α, 而上式即如 SES 式。而此預測為 MMSE 預測，就是說對 ARIMA(0,1,1)模型而言，以 α 參數的SES來更新 one-step-ahead 預測，它是最佳的，此預測也就是下一個觀察值的條件期望值
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