要不要換紅包?

如果有兩個紅包，其中一個紅包裡的錢是另一個紅包的兩倍。如果你選一個紅包，你有機會可以換另一個紅包，請問你要不要換另一個紅包?

由期望值的觀點，下一個期望拿到的錢會是:

假設你目前紅包袋的錢是 x，你換一個紅包可能是 1/2 * x 或 2 * x，所以換一個紅包的期望值是  1/2*x/2 + 1/2*2x = x + x/4。比原來 x 還多 x/4 所以理性上該換。

問題是你換了以後，問你要不要再換?  它們的期望值還是一樣。 你可以想一下為何如此?

如果由 likelihood function 來看:

目前的紅包內如果是 x，theta 表示紅包內較少的錢數;  2*theta 表示紅包內較多錢數。

L(theta=x) = Prob(X=x | x=theta) = Prob(X=theta|theta=x) = 1/2

同時，

L(theta=x/2) = Prob(X=x | x=2*theta) = Prob(X=2*theta|theta=x/2) = 1/2

當抽到是 x 時，theta 的值是 x 或 x/2 - x 發生的機會相同。沒有哪一個 theta 值會使得 x 發生的機會較大。下一個紅包含 x/2 或 2x 的可能性相等。

反過來說，x 有沒有含可供辨別 theta 的訊息呢?

這問題就有點貝氏的語意了。

由貝氏定理得知與 Likelihood function 的關係:
  
                           f(theta|x) ~ constant * f(theta)*f(x|theta)
                                           ~ constant * f(theta)*L(theta)

貝氏定理也可以看做 Likelihood functions 的結合(相乘表示不同事件一起發生，但他們一起受到同樣的 theta 影響時，對不同的 theta， 它們有不同發生的機率 ): 將 f(theta)  prior function 看作是 likelihood function ，而 f(x|theta) = L(theta) 也是 likelihood function ，它們相乘結合在一起。

如果對 theta 如果一無所知，則令 f(theta) = 1。如此， f(theta|x) ~ constant * L(theta)。這也就是為何上述有貝氏的語意出現的原因了。

原來，Likelihood 與貝氏定理還有如此的關係。