Likelihood 區間

在一般 regular 的條件下，我們簡單呈現 MLE 與它的標準差。在沒有那麼 regular 的情況時，我們可以建構那些仍然被公認還有不確定性的區間，以簡化對 likelihood function 的溝通。

在 Fisher 1973 年的書中提出了，在一些問題中，我們解釋 likelihood function 直接用來溝通關於我們對 theta 的不確定性。這些問題包含無法用精確機率來進行推論，同時樣本太小也會使大樣本得結果不再成立。 一個 likelihood 區間是定義成一包含有足夠高 likelihood 的參數值集合 :  { theta |  L(theta)/L(theta-hat) > c } ，c 為切點; L(theta)/L(theta-hat) 為 normalized likelihood。

在近代幾個作者 Barnard et al. (1962), Sprott (1975,2000), Edwards (1992), Royall (1997) , 與Lindsey (1996, 1999a,b)  都是直接用 likelihood 推論的擁護者。

Fisher 給了一個在binomial 參數情況下的特別例子。如何選擇切點 c 的問題先不討論，但他建議參數值小於 1/15 或 6.7% 的 likelihood 時，明顯的是它們將被嚴重懷疑。這樣的處方只有對數量參數有用，一般而言有調整問題我們需要去處理。

例如: 在 binormal 的例子，哪裡我們觀察 n=10 個裡出現 x=8 次。 theta 的 likelihood 區間在 c = 15% 與 4% 是 (0.50,0.96) 與 (0.41,0.98)。通常此區間沒有任何固定的公式，但是實際上用數值方法是相當容易的找到它。對數量參數，我們就使用格子搜尋來找它。

From: All In Likelihood: Statistical modeling and inference